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對于一個學過AP統(tǒng)計分布圖的同學，你或許對于skewed distribution(有偏分布)的平均數(shù)不等于中位數(shù)這個結(jié)論不陌生。比如right skewed(右偏分布)的平均數(shù)大于中位數(shù)，但left skewed(左偏分布)的平均數(shù)小于中位數(shù)(如圖)，但卻無法深入理解這其中的道理。

通過比較平均數(shù)計算公式與微積分中物體重心計算公式可得，隨機變量的平均數(shù)應該位于其分布直方圖(Histogram)的重心位置。而中位數(shù)只位于將分布曲線下方面積等分的位置。所以二者會有上述關(guān)系。而這些只有在學習了微積分中關(guān)于重心計算的部分之后才會理解的深入。以下為GRE官方指南中關(guān)于中位數(shù)與平均數(shù)關(guān)系的論述，可見對于以后有志于在美讀研的同學來說，弄懂二者的關(guān)系意義深遠哦。The median splits the data into a lower half and an upper half, so that the sum of the areas of the bars to the left of median is the same as the sum of the areas to the right. ... The nature of the mean is such that if an imaginary fulcrum were placed somewhere under the horizontal axis in order to balance the distribution perfectly, the balancing position would be exactly atthe mean....To summarize, the median is the “halving point,” and the mean is the “balance point.”

從內(nèi)容的深度上看，AP僅僅要求考生會用基本的定理來計算簡單的數(shù)學問題，而大學微積分課還要求考生掌握一些定義的深入內(nèi)容以及一些原理的推導過程。比如AP并未要求學生掌握極限的ε-Ν定義，而該定義是學習高等數(shù)學一系列概念的鑰匙。

學會了該定義后，一些過去無法理解的奇妙結(jié)論都變得理所應當了。例如，0.999…這個無限循環(huán)小數(shù)為何等于1?很多沒有學習極限ε-Ν定義的同學覺得這不可思議。但是如果我們假設0.999…與1在數(shù)軸上的對應點分別為A與B，我們就會發(fā)現(xiàn)A點與B點之間找不到其它點比A點更靠近B點(如圖)。

這意味著A與B的距離為零!那么這兩個點就是同一個點。于是它們所對應的數(shù)值就相等：0.999…=1.有些同學會問這些是如何想到的。其實這只是掌握了極限的ε-Ν定義之后的一個小試牛刀。

UCSC只是一所普通大學。此題目需要多次使用Integration by parts(分部積分法)來證明。這比AP Calculus BC的要求高出很多，不經(jīng)過系統(tǒng)訓練很難在短時間內(nèi)給出完整的證明。

綜上所述，錯過大學一年級系統(tǒng)學習微積分的機會，你會錯過很多。退一步說，好幾月不做數(shù)學題，即便過去學得再好的學生也會手生，下一個學期繼續(xù)學習更高難度的數(shù)學恐怕就會比較吃力了。